Условие

Два начинающих брокера купили акции одного достоинства на сумму \(3\,640\) рублей. Когда цена на эти ценные бумаги возросла, они продали часть акций на сумму \(3\,927\) рублей. Первый брокер продал \(75\%\) акций своего пакета, а второй – \(80\%\) своего. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на \(140\%\) превысила сумму, полученную первым брокером.

На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение

Важнейший момент в данном решении - уметь находить, "на сколько процентов одно число больше (меньше) другого числа". Не понимая того, как это вычисляется, шансы получить правильное решение стремятся к нулю.

Если даны числа $A$ и $B$ ($A \gt B$) и необходимо узнать, на сколько процентов число $A$ больше числа $B$, то следует воспользоваться следующей формулой: $P = \frac{A - B}{B} \cdot 100\%$

Пусть:

• $x$ - количество акций, купленных $1$ым брокером;

• $y$ - количество акций, купленных $2$ым брокером;

• $a$ - стоимость одной акции до повышения цены.

Тогда:

• $ax$ - стоимость всех акций, купленных $1$ым брокером;

• $ay$ - стоимость всех акций, купленных $2$ым брокером.

В условии задачи говорится, что "Два начинающих брокера купили акции одного достоинства на сумму \(3\,640\) рублей". Переводим на математические рельсы эту фразу и получаем следующее уравнение от трех неизвестных: $ax + ay = 3\ 640$.

Рассмотрим следующую фразу из условия задачи: "Первый брокер продал $75\%$ акций своего пакета" и переведем ее на язык математики
$\rightarrow\ 0.75x$ - количество акций, проданных $1$ым брокером.

Рассмотрим следующую фразу из условия задачи: "а второй - $80\%$ своего" и переведем ее на язык математики
$\rightarrow\ 0.8y$ - количество акций, проданных $2$ым брокером.

Рассмотрим эту фразу: "Когда цена на эти ценные бумаги возросла". Мы ничего не знаем о том, насколько выросла цена, поэтому обозначим новую цену одной акции за $b$.

Рассмотрим следующую фразу: "они продали часть акций на сумму $3\,927$ рублей". С точки зрения нашей математической модели получим следующее уравнение: $0.75bx + 0.8by = 3\ 927$.

Проанализируем последнюю фразу из условия задачи: "При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на $140\%$ превысила сумму, полученную первым брокером". В самом начале решения я предупреждал о наиважнейшем моменте, когда требуется найти, на сколько процентов одно число больше (меньше) другого $+$ приводил формулу, позволяющую это вычислить.

$\frac{0.8by - 0.75bx}{0.75bx} \cdot 100\% = 140\%$

$(0.8y - 0.75x) \cdot 100 = 0.75x \cdot 140$

$80y - 75x = 105x$

$180x = 80y$

$y = \frac{180}{80}x$

$\rightarrow y = 2.25x$

В принципе, мы закончили построение математической модели. Я предлагаю сейчас выписать все полученные зависимости:

$ax + ay = 3\ 640$;

$0.75bx + 0.8by = 3\ 927$;

$y = 2.25x$.

В итоге мы имеем $3$ уравнения и целых $4$ре неизвестных ($a$, $x$, $y$, $b$). Алгебраического решения такая система иметь не будет! И на этом моменте можно застрять наглухо и вообще не сдвинуться дальше в решении.

Фишка в том, что нам не нужно искать конкретные значения величин $a$ и $b$, так как по условию нас просят указать, на сколько процентов возросла цена акции. Математическими словами - насколько процентов величина $b$ больше величины $a$. А как это сделать мы уже знаем (если не помнишь, то посмотри самую $1$ую формулу в начале решения).

$ax + ay = 3\ 640 \rightarrow a(x + y) = 3\ 640 \rightarrow a = \frac{3\ 640}{x + y}$

$0.75bx + 0.8by = 3\ 927 \rightarrow b(0.75x + 0.8y) = 3\ 927 \rightarrow b = \frac{3\ 927}{0.75x + 0.8y}$

В полученных уравнениях произведем замену $y = 2.25x$ и получим:

$a = \frac{3 \ 640}{x + 2.25x} = \frac{3\ 640}{3.25x} = \frac{1\ 120}{x}$
$b = \frac{3\ 927}{0.75x + 0.8 \cdot 2.25x} = \frac{3\ 927}{0.75x + 1.8x} = \frac{3\ 927}{2.55x} = \frac{1\ 540}{x}$

Итак:

$\qquad a = \frac{1120}{x} \qquad b = \frac{1540}{x}$

Кстати, обращаю ваше внимание, что нам пришлось делить не самые удобные числа, например, $3640$ на число $3.25$, но, если не торопиться, то столбиком можно произвести эту операцию буквально за $1$ минуту.

В итоге мы выразили обе величины $a$ и $b$ через $x$. Сейчас уже ничего не мешает получить ответ!

$P = \frac{b - a}{a} \cdot 100\% = \frac{\frac{1540}{x} - \frac{1120}{x}}{\frac{1120}{x}} \cdot 100\% = \frac{420}{1120} \cdot 100\% = 37.5\%$
$\rightarrow P = 37.5\%$

Ответ: $37.5$

Данное решение подготовил репетитор по математике и информатике Александр Георгиевич.
Для записи на индивидуальную подготовку:

• Звоните на номер телефона: $8\ (926)\ 610\ -\ 61\ -\ 95$ или

• пишите на электронный адрес proglabs@mail.ru.