Задача №4 (определение срока кредитования)
 

Содержание:

Возникают проблемы с задачами из ЕГЭ по математике на дифференцированные платежи?

Здравствуйте! С вами на связи Александр - профессиональный репетитор по математике, информатике, программированию, алгоритмам и базам данных. Если коротко, то я - матерый технарь. smiley Основное направление моей деятельности - подготовка школьников к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Скоро предстоит сдача рубежного школьного экзамена? А вы плохо понимаете, как оптимально и быстро решать задачи из ЕГЭ по математике на дифференцированные платежи? Срочно берите в руки телефон, набирайте мой контактный номер (он указан в шапке данного сайта) и записывайтесь на $1$-й пробный урок.

Несмотря на то, что вы чрезвычайно занятой человек, я все-таки настоятельно рекомендую вам потратить $2-3$ минуты и познакомиться с отзывами моих подопечных. Практически все они добились поставленных результатов. Думаю, что у вас получится не хуже.

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $16$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $38$ миллионов рублей?

Решение задачи

Я лютый сторонник алгебраического способа решения задач, поэтому будем выводить/использовать математические формулы. Но сначала нужно разобраться с предложенной кредитной программой.

Существует $2$ основных метода погашения кредита: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи. Какой же метод следует применить в этой задаче? На самом деле, ответ на поверхности!

Если внимательно прочитать формулировку, то можно заметить явный намек на применение схемы дифференцированных платежей. Разумеется, вы должны превосходно разбираться в анатомии обоих методов, знать их свойства и ограничения, преимущества и недостатки.

Обратимся к фразе, которая стоит в условии задачи: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года". Это означает, что размер взятой ссуды уменьшается равномерно, равными частями. А это одно из важнейших свойств схемы дифференцируемых платежей! С этим разобрались, двигаемся дальше!

Чтобы успешно решать задачи из ЕГЭ по математике на дифференцированные платежи, вы в обязательном порядке должны понимать принцип работы этой схемы платежей. Но, как показывает суровая действительность, школьники $11$-го класса достаточно слабы в финансовой математике, и им требуется серьезная прокачка знаний.

Скажу больше, мало понимать общий принцип работы дифференцируемых выплат, нужно еще досконально разбираться в соответствующей математической модели. Если знать тонкости этой математической модели, то можно без особого труда, буквально за считанные минуты, щелкать задачи из ЕГЭ по математике на дифференцированные платежи.

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Эти обозначения я привожу в каждом решении, чтобы у читателей не возникало путаницы в названии переменных и была возможность быстро переключаться между заданиями и соответствующими математическими вычислениями.

Из условия вытекает, что:

$S = 16$, млн. рублей $q = 25\%$ $r = \frac{q}{100} = \frac{25}{100} = 0.25$ $P = 38$

Наша задача определить $n$, то есть количество отчетных периодов, и, что немаловажно, это значение должно быть наименьшим! Почему наименьшим? Потому что, кому захочется переплачивать лишние деньги по банковскому займу. cheeky

Запишем основную формулу математической модели дифференцируемых платежей и посмотрим, достаточно ли будет ее для получения нужного результата:

$P = \frac{S\ *\ r\ *\ (n + 1)}{2} + S$. Если эта формула вам мало знакома, то это очень плохо! Срочно бегите и изучайте построение соответствующей математической модели. Ссылочку я оставлял выше в данной статье.

Если внимательно проанализировать эту формулу, то становится ясно, что нам неизвестно только значение переменной $n$, но ведь нам и нужно отыскать ее значение. Значит, все, что от нас требуется, решить это линейное уравнение. Я бы даже добавил, что это простейшее линейное уравнение. Как же все просто!

$38 = \frac{16\ *\ 0.25\ *\ (n + 1)}{2} + 16$

$\frac{4\ *\ (n + 1)}{2} = 38 - 16$

$\frac{4\ *\ (n + 1)}{2} = 22$  $| *2$

$4 * (n + 1) = 44$

$n + 1 = \frac{44}{4}$

$n + 1 = 11$

$n = 11 - 1$

$n = 10$.

Готово! Да, это все решение. wink Сколько нужно затратить времени на эти примитивные выкладки? Ну, где-то $2-3$ минуты. Правильное использование формул математической модели - великая сила, позволяющая в сжатые сроки набирать баллы на официальном экзамене.

То есть потребуется ровно $10$ лет, чтобы полностью погасить взятый кредит, при этом будут соблюдены все условия и ограничения, сформулированные в постановке задачи.

Как проверить правильность ответа? Можно, конечно, перейти к арифметическому способу и произвести все выкладки вручную. Это нудно и долго, одним словом - неэффективно! Хотя на экзамене ЕГЭ по математике другого способа фактически и не остается.

А вот я, со своими учениками, провожу верификацию правильности ответа через формирование таблицы в программе "MS Excel". Это чрезвычайно удобный способ проверки, который в то же время является предельно наглядным и понятным.

доказательство правильности ответа через таблицу Excel

Лично мне данная таблица напоминает чем-то арифметический способ решения экономических задач, когда все вычисления производят поэтапно. Кстати, внимательный старшеклассник обратит внимание на закономерности, которым подчиняются размер платежа и начисляемых процентов. Правильно, это одни из свойств схемы дифференцированных платежей.

Кстати, значения в данной таблице доказывают, что наше решение, полученное алгебраическим путем, является абсолютно правильным.

Выводы

Знать нужно основательно принцип работы дифференцированных платежей и соответствующую математическую модель. Как только вы познаете эти моменты, то сразу станете на голову сильнее своих сверстников, которые плохо понимают эти нюансы.

И, пожалуй, нужно правильно определять кредитную программу в процессе знакомства с задачей, когда читаете ее условие. Выберите не ту схему и получите абсолютно неверный ответ. Чтобы не ошибаться с выбором кредитной программы, нужно знать назубок свойства, как дифференцированных выплат, так и аннуитетных.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

Данный список является обязательным к прорешиванию, если вы хотите стать профессиональным решателем задач из ЕГЭ по математике на дифференцированные платежи. Практически все они решаются алгебраическим способом с применением математической модели.

А вообще, экономический блок, который предлагается школьникам при подготовке к ЕГЭ по математике, насыщен разными типами заданий. И задания на дифференцируемые выплаты составляют не более $10\%$ от их общего количества. Всевозможные вариации задач из экономического блока я разбираю на индивидуальных уроках.

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Следите за данным списком, так как я постоянно наполняю его новыми материалами, в том числе нестандартными задачами из ЕГЭ по математике на дифференцированные платежи.

Хотите стать профессиональным решателем задач из экономического блока? Записывайтесь на частную подготовку!

Если вы, прочитав данную статью, имеете неполное понимание происходящего, многое кажется все равно достаточно сложным, то берите в руки телефон, дозванивайтесь до меня и записывайтесь на первый пробный урок.

Я - репетитор-практик. Это означает, что на занятиях мы с учеником львиную долю времени посвящаем конкретным разборам. Теории в Интернете полно, хотя иногда недостаточно понятной и адекватной. Но не стоит забывать, что экзамен ЕГЭ по математике призван проверить ваши практические навыки решения той или иной задачи. Умение продуктивно решать - превыше всего!

Превалирующее число моих учеников занимаются со мной дистанционно. Не в каменном веке ведь живем. Нужно использовать достижения научно-технического прогресса на полную катушку. Такие компьютерные программы, как "Скайп" и "Эникей" делают процесс обучения крайне эффективным и плодотворным.

И помните, что я достаточно востребованный репетитор по математике, а количество ученических мест ограничено. Поэтому, не откладывайте свое решение в долгий ящик, а действуйте прямо сейчас, так как завтра уже может быть поздно, так как желающих заниматься со мной предостаточно, а меня физически на всех не хватит.

 

Отзывы
моих учеников

Иванцова
Татьяна

 
Никогда не думала, что за 15 дней можно серьезно подготовиться к зачету по MS Excel 2003. С репетитором занимались очень интенсивно и очень много решали заданий. Было интересно и познавательно в целом, но в жизни, я...

Евдокимов
Максим

 
Не думал, что смогу получить 91 балл на ЕГЭ, но у меня получилось, благодаря методикам моего репетитора. Очень понятно объясняет, особенно нюансы, в которых я всегда путался и ленился разбираться.

Потапова
Ирина

 
Спасибо большое вам за помощь. Без вашей поддержки я бы не получила 5-ку на экзамене. Хочу особенно отметить, что на ваших уроках вы даете очень много полезной сопутствующей информации, в том числе и разного рода...

Волков
Антон

 
Было очень сложно и, оказалось, что я совсем не знал ни Excel, ни C#. Александр Георгиевич подтянул мои знания и вывел их на новый квалитативный уровень. Спасибо вам и успехов!

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Белкин
Юрий

 
Круто, что я сдал на 5 свой экзамен, было оооооочень сложно, но у меня получилось. Кстати, Александр Георгиевич кроме языка СИ еще приводил сравнения с языком С++, очень круто на самом деле. Заниматься понравилось и...

Арапов
Александр

 
Спасибо вам Александр, я планирую в будущем стать профессиональным зарубежным программистом на C# и теперь у меня появилась серьезная база для этого.

Малышев
Евгений

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке Паскаль. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Арсеньев
Михаил

 
Еще учась в 9-ом классе, я для себя определил, что хочу продолжить обучение в одном из лучших ВУЗов страны и задолго до экзамена начал подготовку. Очень долго выбирал репетитора, но когда встретил Александра...

Якименко
Александр

 
Я вообще, в школе учусь плоховато и, меня натаскивают родители, заставляют заниматься, но когда занимались с Александром Георгиевичем, то мне нравилось, я начал понимать и начинала появляться уверенность, что я Смогу....

Даниил
Сафонов

 
Чтобы программировать, нужно быть усидчивым и очень умным человеком. Я больше гуманитарий, поэтому мне вся эта техническая мысль дается крайне сложно. Но мне понравилось работать с Александром Георгиевичем. Видно, что...

Лебедев
Валерий

 
С большим удовольствием занимался с учителем, т к начал понимать программирование на более углубленном уровне. Очень много изучали такую тему как "указатели" и я их понял наконец-таки очень хорошо. Понимание указателей...

Леонов
Никос

 
Полученный бал, превзошел все мои ожидания, так как я максимум рассчитывал на 90 баллов тестовых. Думаю, получением столь высокой оценки я обязан репетитору Александру Георгиевичу. Но мой личный вклад тоже не мал!

Ахматова
Юлия

 
В нашем вузе я должна была сдавать экзамену по C#. Билеты были очень сложные. Один вопрос теоретический, практическая задача в консоли и лабораторная, связанная с базами данных. Знания у меня были тусклые в этих...

Соколов
Дмитрий

 
Я научился тому, о чем мечтал с 15 лет. Александр Георгиевич, оказывается, очень хорошо знает веб-программирование, хотя его основной профиль (по его словам) - подготовка к ОГЭ/ЕГЭ по информатике и ИКТ. Скажу честно,...

Александров
Михаил

 
В школе никогда не было нормальной информатики, поэтому на первом курсе я столкнулся с большой проблемой. Надо было научится программировать на языке "чистый" СИ. А я даже не знал азы и не представлял что такое...

Корелов
Дмитрий

 
Нравится заниматься программированием с Александром Георгиевичем, сейчас уже точно уверен, что буду программистом на одном из лучших современных языков программирования.

Владимир
Дятлов

 
Спасибо вам за помощь) Я хотел сначала тупо все заказать на стороне, но стало интересно разобраться самостоятельно и у меня получилось благодаря вашему наставничеству. Если не сдам экзамен, то опять обращусь к вам за...

Крылов
Антон

 
Я не ожидал, что получу 83 балла, думал, максимум 70, а результат меня ошеломил. Вы просто мастер Александр Георгиевич, выражаю вам благодарность большую.

Калиновский
Илья

 
Как только поступил в ВУЗ, думал, что буду отчислен из-за дисциплины программирования, т к оказалось очень сложной и у меня ничего не получалось. Потом нашел репетитора и вместе с ним научился средне программировать и...

Прохоров
Дмитрий

 
Спасибо вам). Я сам не ожидал, что мне поставят пятерку, просто попался билет, связанный с обработкой строк и структур, а мы их с вами очень детально изучили и мне было все предельно ясно. С практической задачей на...

Трунин
Сергей

 
На редкость сильный репетитор, абсолютно компетентен в преподаваемом предмете, знает язык программирования Turbo Pascal просто "насквозь". Было интересно заниматься и очень познавательно, так как в школе мы ничего этого...

Сухоруков
Андрей

 
Я не ожидал, что Александр Георгиевич владеет знаниями, далеко выходящими за пределы любой вузовской программы. Вы очень сильный преподаватель и программист-практик. Я очень многому у него научился, почувствовал...
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике