Другие статьи из рубрики «Дифференцированный платеж»
- Задача №1 (общая сумма выплат)
- Задача №10 (общий размер всех выплат)
- Задача №2 (минимальный срок кредитования)
- Задача №3 (определение срока кредитования)
- Задача №4 (определение срока кредитования)
- Задача №5 (нахождение процентной ставки банка)
- Задача №6 (поиск процентной ставки банка)
- Задача №7 (переплата по кредиту в %-ном отношении)
- Задача №8 (поиск процентной ставки банка)
- Задача №9 (общий размер всех выплат)
Содержание: |
Не получается успешно решать задачи из экономического блока?
Приветствую! Меня зовут Александр Георгиевич. Я - репетитор по математике, информатике, программированию, алгоритмам и базам данных. Уже свыше 10 лет провожу подготовку школьников к рубежным экзамена ОГЭ/ЕГЭ по математике/информатике.
Для своих потенциальных клиентов я разработал многофакторную систему, которая позволит вам подобрать стоимость частных уроков, учитывая все ваши пожелания и ограничения.
Также настоятельно рекомендую вам потратить буквально пару минут собственного времени и познакомиться с отзывами школьников/студентов, занимающихся под моим началом. Все они достигли положительных результатов. Думаю, что у вас тоже получится!
На официальном экзамене ЕГЭ по математике в обязательном порядке придется столкнуться с задачей из экономического блока, поэтому, если у вас имеются какие-либо трудности с финансовыми задачами, то берите в руки мобильный телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок.
Условие задачи
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей?
Решение задачи
Во-первых, прочитав внимательно несколько раз условие задачи, нужно понять, к какому типу кредитования относится эта задача. Очевидно, что речь идет про кредит, который будет выплачиваться дифференцируемыми платежами. Главный маркер, на основании которого можно сделать такой вывод, заключен в этом предложении: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года".
Во-вторых, если вы достаточно плохо знаете схему дифференцированных платежей, часто путаетесь в ней, то в обязательном порядке познакомьтесь с моей информационной статьей, в которой детализировано изложен принцип работы дифференцированных платежей, а также построена математическая модель данной схемы. Обязательно прочтите и вы моментально станете сильнее в этой области!
Давайте введем следующие обозначения:
\(S\) - размер первоначального кредита | \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях | \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов |
\(n\) - общее количество отчетных периодов | \(i\) - номер текущего отчетного периода | \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период |
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период | \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей | \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах |
Сразу хочу заметить, что не все обозначенные переменные нам пригодятся в процессе решении задачи, но точно большая часть из них.
Из условия вытекает, что:
$S = 6$, млн. рублей | $q = 20\%$ | $r = \frac{q}{100} = \frac{20}{100} = 0.2$ | $i = 1$ |
Наша задача определить $n$, то есть количество отчетных периодов, и, что немаловажно, это значение должно быть минимальным!
На данный момент, пользуясь только этой информацией, решить задачу в принципе невозможно, но на помощь приходит важнейшее ограничение, а именно: "наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей". Сейчас все встало на свои места.
Если вы хорошо понимаете модель дифференцируемых платежей, то помните о том, что в данной модели наибольшим платежом является самый $1$-ый платеж. Также, в качестве справочной информации, напомню, что наименьшим по размеру является последний платеж.
В ограничении говорится, что платеж не превысил некоторое значение, это задает нестрогое неравенство, но(!), поскольку нам нужно минимизировать количество отчетных периодов, то необходимо стремиться, как можно быстрее закрыть кредит, а для этого нужно выплачивать транши максимального размера. Следовательно, принимаем, что самый $1$-ый платеж составляет ровно $1.8$ миллионов рублей.
Перед тем, как осуществить первую выплату $(i = 1)$, банк начисляет проценты на текущее тело кредита.
$\%_{1} = S * r$ - сумма начисленных процентов, млн.рублей.
<Размер 1-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита> |
Сейчас нам нужно понять, чему равна одна часть первоначального кредита. Поскольку в модели дифференцируемых платежей тело кредита уменьшается равномерно, значит <одна часть> = $\frac{S}{n}$ или $=\frac{1}{n} * S$.
Соберем все составляющие воедино и запишем формулу, по которой можно получить размер $1$-го платежа:
$p_{1} = \%_{1} + \frac{S}{n} = S * r + \frac{S}{n} = S * (r + \frac{1}{n})$.
Чуть выше мы уже доказали, чему должен быть равен $1$-й платеж, поэтому составим и решим следующее уравнение:
$S * (r + \frac{1}{n}) = 1.8$
$r + \frac{1}{n} = \frac{1.8}{6}$
$\frac{1}{n} = 0.3 - 0.2$
$\frac{1}{n} = \frac{1}{10}$
$n = 10$
Готово! Ответ получен! Чтобы соответствовать всем условиям и ограничениям, озвученным в условии задачи, необходимо взять кредит сроком, ровно на $10$ лет.
На своих частных уроках, совместно с учеником, мы проводим верификацию полученных результатов, посредством математического процессора "MS Excel". Это позволяет убедиться в правильности полученного решения, а также лишний раз проанализировать математические выкладки, участвующие в процессе дифференцируемых платежей. Это очень полезное занятие!
Сформированная в MS Excel таблица, доказывает правильность нашего алгебраического решения.
Ответ: 10.
Выводы
Некоторые задачи на модель дифференцируемых платежей можно решить буквально за $1-2$ минуты, если фундаментально понимать математическую модель этого типа платежей.
Обращайте особое внимание на ограничения в условии задачи, так как именно они позволяют резко упростить математические выкладки. И, как правило, решение становится предельно простым и быстро получаемым.
Зазубрите свойства схемы дифференцированных платежей. Это позволит вам почти моментально определять вектор последующего математического решения. В данном примере мы использовали свойство дифференцированных выплат, проявляющееся в том, что самый $1$-й платеж является и самым наибольшим.
Старайтесь решать экономические задачи алгебраическим способом, когда нужно сформировать какие-либо уравнения/неравенства, а не арифметическим. Арифметический способ решения требует наличия громоздких вычислений, и, как правило, является крайне времязатратным.
И, пожалуй, одно из главных - нужно любить математику.
Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике
В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцируемого платежа, и только на нем.
А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцируемый платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на индивидуальных занятиях.
Пример №1 В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита? |
Пример №2 В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей? |
Пример №3 В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей? |
Пример №4 В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей? |
Пример №5 В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей. |
Пример №6 \(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\). |
Пример №7 Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)? |
Пример №8 Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\). |
Пример №9 В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей? |
Пример №10 \(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? |
Не удивляйтесь, но приведенные задачи решаются достаточно легко, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцируемого платежа. Даже скажу больше, ответы на некоторые из представленных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.
Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений из экономического блока ЕГЭ по математике? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик с многолетним стажем, и главная цель моих занятий – выработать у вас навыки успешного решения экономических задач любого типа и любой сложности.
Что-то все равно осталось непонятным? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!
Да, я прекрасно знаю разницу, когда производишь решение самостоятельно, и, когда знакомишься с уже готовым решением. В данной статье я демонстрирую профессиональное решение одной из множества задач на дифференцируемый платеж. Вам далеко не все может быть понятно!
По-настоящему научиться решать экономические задачи можно лишь тогда, когда прорешиваешь их самостоятельно или работаешь под началом какого-либо репетитора/наставника. Достаточно сложно стать профессиональным математическим решателем, если постоянно анализировать только чужие решения.
Поэтому, если хотите стать намного сильнее в области финансовой математики, получать в качестве домашних заданий сложные примеры, требующие нестандартного подхода, то записывайтесь ко мне на частные уроки.
На своих частных уроках я делаю упор исключительно на практические решения. Мы не занимаемся водянистой теорией, которая легкодоступна на множестве информационных ресурсов сети Интернет.
И не стоит забывать о том, что я достаточно востребованный репетитор. Поэтому не откладывайте свое решение в долгий ящик, а действуйте прямо сейчас! Звоните по номеру, указанному в шапке данного сайта, или пишите мне на электронный адрес (ссылку можно найти в подвале сайта в разделе "Контакты").
Экономические задачи достаточно интересны по своей природе, а также понимание их решения может вам пригодиться в реальной жизни. Кто знает, может быть, вы будущий экономист или трейдер на финансовых рынках.
Отзывы
моих учеников
Минаев
Сергей
Евдокимов
Максим
Калиновский
Илья
Иванов
Денис
Павленко
Илья
Коряков
Михаил
Дмитров
Анатолий
Шамшуров
Денис
Потанин
Михаил
Миронов
Сергей
Фомин
Глеб
Трунин
Сергей
Ермаченков
Александр
Соколов
Дмитрий
Самуйлов
Кирилл
Агаров
Ярослав
Сычев
Владимир
Иванцова
Татьяна
Догаев
Самир
Юзов
Артур