Задача №2 (минимальный срок кредитования)
 

Содержание:

Не получается успешно решать задачи из экономического блока?

Приветствую! Меня зовут Александр Георгиевич. Я - репетитор по математике, информатике, программированию, алгоритмам и базам данных. Уже свыше 10 лет провожу подготовку школьников к рубежным экзамена ОГЭ/ЕГЭ по математике/информатике.

Для своих потенциальных клиентов я разработал многофакторную систему, которая позволит вам подобрать стоимость частных уроков, учитывая все ваши пожелания и ограничения.

Также настоятельно рекомендую вам потратить буквально пару минут собственного времени и познакомиться с отзывами школьников/студентов, занимающихся под моим началом. Все они достигли положительных результатов. Думаю, что у вас тоже получится!

На официальном экзамене ЕГЭ по математике в обязательном порядке придется столкнуться с задачей из экономического блока, поэтому, если у вас имеются какие-либо трудности с финансовыми задачами, то берите в руки мобильный телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок.

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей?

Решение задачи

Во-первых, прочитав внимательно несколько раз условие задачи, нужно понять, к какому типу кредитования относится эта задача. Очевидно, что речь идет про кредит, который будет выплачиваться дифференцируемыми платежами. Главный маркер, на основании которого можно сделать такой вывод, заключен в этом предложении: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года".

Во-вторых, если вы достаточно плохо знаете схему дифференцированных платежей, часто путаетесь в ней, то в обязательном порядке познакомьтесь с моей информационной статьей, в которой детализировано изложен принцип работы дифференцированных платежей, а также построена математическая модель данной схемы. Обязательно прочтите и вы моментально станете сильнее в этой области!

Давайте введем следующие обозначения:

\(S\) - размер первоначального кредита \(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях \(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов \(i\) - номер текущего отчетного периода \(\%_{i}\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_{i}\) - размер платежа за конкретный период \(P\) - общая сумма всех выплат/платежей \(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

Сразу хочу заметить, что не все обозначенные переменные нам пригодятся в процессе решении задачи, но точно большая часть из них.

Из условия вытекает, что:

$S = 6$, млн. рублей $q = 20\%$ $r = \frac{q}{100} = \frac{20}{100} = 0.2$ $i = 1$

Наша задача определить $n$, то есть количество отчетных периодов, и, что немаловажно, это значение должно быть минимальным!

На данный момент, пользуясь только этой информацией, решить задачу в принципе невозможно, но на помощь приходит важнейшее ограничение, а именно: "наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей". Сейчас все встало на свои места. smiley

Если вы хорошо понимаете модель дифференцируемых платежей, то помните о том, что в данной модели наибольшим платежом является самый $1$-ый платеж. Также, в качестве справочной информации, напомню, что наименьшим по размеру является последний платеж.

В ограничении говорится, что платеж не превысил некоторое значение, это задает нестрогое неравенство, но(!), поскольку нам нужно минимизировать количество отчетных периодов, то необходимо стремиться, как можно быстрее закрыть кредит, а для этого нужно выплачивать транши максимального размера. Следовательно, принимаем, что самый $1$-ый платеж составляет ровно $1.8$ миллионов рублей.

Перед тем, как осуществить первую выплату $(i = 1)$, банк начисляет проценты на текущее тело кредита.

$\%_{1} = S * r$ - сумма начисленных процентов, млн.рублей.

<Размер 1-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>

Сейчас нам нужно понять, чему равна одна часть первоначального кредита. Поскольку в модели дифференцируемых платежей тело кредита уменьшается равномерно, значит <одна часть> = $\frac{S}{n}$ или $=\frac{1}{n} * S$.

Соберем все составляющие воедино и запишем формулу, по которой можно получить размер $1$-го платежа:

$p_{1} = \%_{1} + \frac{S}{n} = S * r + \frac{S}{n} = S * (r + \frac{1}{n})$.

Чуть выше мы уже доказали, чему должен быть равен $1$-й платеж, поэтому составим и решим следующее уравнение:

$S * (r + \frac{1}{n}) = 1.8$

$r + \frac{1}{n} = \frac{1.8}{6}$

$\frac{1}{n} = 0.3 - 0.2$

$\frac{1}{n} = \frac{1}{10}$

$n = 10$

Готово! Ответ получен! Чтобы соответствовать всем условиям и ограничениям, озвученным в условии задачи, необходимо взять кредит сроком, ровно на $10$ лет.

На своих частных уроках, совместно с учеником, мы проводим верификацию полученных результатов, посредством математического процессора "MS Excel". Это позволяет убедиться в правильности полученного решения, а также лишний раз проанализировать математические выкладки, участвующие в процессе дифференцируемых платежей. Это очень полезное занятие!

Сформированная в MS Excel таблица, доказывает правильность нашего алгебраического решения.

Ответ: 10.

Выводы

  1. Некоторые задачи на модель дифференцируемых платежей можно решить буквально за $1-2$ минуты, если фундаментально понимать математическую модель этого типа платежей.

  2. Обращайте особое внимание на ограничения в условии задачи, так как именно они позволяют резко упростить математические выкладки. И, как правило, решение становится предельно простым и быстро получаемым.

  3. Зазубрите свойства схемы дифференцированных платежей. Это позволит вам почти моментально определять вектор последующего математического решения. В данном примере мы использовали свойство дифференцированных выплат, проявляющееся в том, что самый $1$-й платеж является и самым наибольшим.

  4. Старайтесь решать экономические задачи алгебраическим способом, когда нужно сформировать какие-либо уравнения/неравенства, а не арифметическим. Арифметический способ решения требует наличия громоздких вычислений, и, как правило, является крайне времязатратным.

  5. И, пожалуй, одно из главных - нужно любить математику. cheeky

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцируемого платежа, и только на нем.

А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцируемый платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на индивидуальных занятиях.

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму \(10\) миллионов рублей на \(5\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый декабрь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Перейти к текстовому решению

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил \(1.8\) миллиона рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(20\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(47\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(16\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(38\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) миллионов рублей на срок \(15\) лет.
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти \(q\), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более \(1.9\) миллиона рублей, а наименьший не менее \(0.5\) миллиона рублей.

Перейти к текстовому решению

Пример №6

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(39\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(q\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(20\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на \(9\) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на \(17\%\), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Перейти к текстовому решению

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок \(12\) месяцев (\(1\) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется \(q\%\) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть \(q\).

Перейти к текстовому решению

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(28\) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

  • Каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года.

  • С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

  • В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(9\) миллионов рублей?

Перейти к текстовому решению

Пример №10

\(15\) января планируется взять кредит в банке на \(15\) месяцев.
Условия его возврата таковы:

  • \(1-го\) числа каждого месяца долг возрастает на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца.

  • Со \(2-го\) по \(14-е\) число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

  • \(15-го\) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на \(15-е\) число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила \(108\,000\) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Перейти к текстовому решению

Не удивляйтесь, но приведенные задачи решаются достаточно легко, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцируемого платежа. Даже скажу больше, ответы на некоторые из представленных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.

Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений из экономического блока ЕГЭ по математике? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик с многолетним стажем, и главная цель моих занятий  выработать у вас навыки успешного решения экономических задач любого типа и любой сложности.

Что-то все равно осталось непонятным? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Да, я прекрасно знаю разницу, когда производишь решение самостоятельно, и, когда знакомишься с уже готовым решением. В данной статье я демонстрирую профессиональное решение одной из множества задач на дифференцируемый платеж. Вам далеко не все может быть понятно!

По-настоящему научиться решать экономические задачи можно лишь тогда, когда прорешиваешь их самостоятельно или работаешь под началом какого-либо репетитора/наставника. Достаточно сложно стать профессиональным математическим решателем, если постоянно анализировать только чужие решения.

Поэтому, если хотите стать намного сильнее в области финансовой математики, получать в качестве домашних заданий сложные примеры, требующие нестандартного подхода, то записывайтесь ко мне на частные уроки.

На своих частных уроках я делаю упор исключительно на практические решения. Мы не занимаемся водянистой теорией, которая легкодоступна на множестве информационных ресурсов сети Интернет.

И не стоит забывать о том, что я достаточно востребованный репетитор. Поэтому не откладывайте свое решение в долгий ящик, а действуйте прямо сейчас! Звоните по номеру, указанному в шапке данного сайта, или пишите мне на электронный адрес (ссылку можно найти в подвале сайта в разделе "Контакты").

Экономические задачи достаточно интересны по своей природе, а также понимание их решения может вам пригодиться в реальной жизни. Кто знает, может быть, вы будущий экономист или трейдер на финансовых рынках. yes

 

Отзывы
моих учеников

Коряков
Михаил

 
Когда я начал заниматься с Александром Георгиевичем, у меня уже была довольно сильная база, но мы ее упрочили невероятно сильно дополнительными методиками. Я научился решать наиболее оптимально огромное количество задач...

Ланцев
Дмитрий

 
Я был очень круто подготовлен. Александр Георгиевич натаскивал меня по полной программе, мы прорерашли более 200 задач по программированию, научились строить выйгрышные стратегии. Я сам виноват, что не повторил...

Некрасов
Алексей

 
Спасибо большое за помощь. На ваших уроках всегда высокая дисциплина, очень требовательны и строго проверяете домашнее задание. В целом я получил те знания, которые мне требовались. А вообще с графикой сложно работать,...

Фрунзе
Яна

 
На самом деле я очень счастлива, что получила четыре на экзамене. Я так боялась того, что меня отчислят из-за этого предмета, но мои страхи были напрасными. Благодаря профессионализму Александра Георгиевича, его...

Курцева
Мария

 
Я очень довольна результатами)) Меня бы даже устроило бы и 70 баллов. Положительные стороны репетитора: интересно доносит материал, является экспертом в своей области, уроки ориентированы на практику. Из отрицательных...

Минаев
Сергей

 
Выражаю благодарность за добросовестную подготовку к успешной сдаче ЕГЭ по информатике и ИКТ. Особенно хочется отметить подход репетитора к работе, видно, что ему тоже интересно совместно со мной решать эти задачи, он...

Ермаченков
Александр

 
Был очень сложный экзамен, я безумно счастлив, что получил "хорошо", так как на "отлично" сдало всего 4 человека со всего потока (причем они серьезно изучали программирование еще до поступления в ВУЗ). Я понял, что С++...

Станислав
Блок

 
Спасибо вам за подготовку. Было очень интересно и познавательно. Программированием заниматься в жизни не буду, т к чувствую, что нужно еще очень многое изучать. Спасибо вам еще раз.

Шамшуров
Денис

 
Спасибо вам большое Александр Георгиевич! Вы практически сделали невозможное - натаскали меня к экзамену по программированию, которое я очень плохо понимал до того, как обратился к вам. Хочу отдельно отметить, что урок...

Евдокимов
Максим

 
Не думал, что смогу получить 91 балл на ЕГЭ, но у меня получилось, благодаря методикам моего репетитора. Очень понятно объясняет, особенно нюансы, в которых я всегда путался и ленился разбираться.

Камю
Константин

 
Я сдал курсовой проект на отлично благодаря помощи репетитора Александра. Он очень доступно дает незнакомый и сложный материал. Понравилось еще то, что он старается все свои объяснения подкреплять визуальными...

Булычев
Владимир

 
С учителем мы сошлись характерами и я стал заниматься регулярно и продолжительное время. Очень много давалось домашних заданий, что я даже не успевал все выполнять, так как был занят еще в ВУЗе. Выражаю огромную...

Потанин
Михаил

 
Спасибо вам больше, без вас, я бы никогда не сделал эти работы. так как всегда плохо понимал программирование, тем более серьезное программирование. Сейчас я понимаю, что строки, на самом деле, примитивные структуры...

Соколов
Дмитрий

 
Я научился тому, о чем мечтал с 15 лет. Александр Георгиевич, оказывается, очень хорошо знает веб-программирование, хотя его основной профиль (по его словам) - подготовка к ОГЭ/ЕГЭ по информатике и ИКТ. Скажу честно,...

Потапова
Ирина

 
Спасибо большое вам за помощь. Без вашей поддержки я бы не получила 5-ку на экзамене. Хочу особенно отметить, что на ваших уроках вы даете очень много полезной сопутствующей информации, в том числе и разного рода...

Богдан
Игнатьев

 
Теперь я чувствую себя уверенно при программировании графических примитивов. Я еще раз убедился, что хороший учитель очень важен для хорошего обучения. В следующем учебном году у нас будет дисциплина "Мультипликация и...


Маслова

 
Я очень долго искала профессионального репетитора, который знает не только азы Паскаля, а также хорошо разбирается в динамических структурах данных. Очень рада, что Александр Георгиевич оказался замечательным...

Арсеньев
Михаил

 
Еще учась в 9-ом классе, я для себя определил, что хочу продолжить обучение в одном из лучших ВУЗов страны и задолго до экзамена начал подготовку. Очень долго выбирал репетитора, но когда встретил Александра...

Коваленко
Всеволод

 
Хочу отметить дисциплину на уроках, я чувствовал себя как на официальной паре, никаких шуток и панибратств. Очень понравилось серьезное отношение к дисциплине, т к я сам челвоек дисциплинированный. Спасибо вам!

Волков
Павел

 
Спасибо вам большое. Да, курсовая была непростой, но я сдал ее на 5-ку. Хочу отметить атмосферу проводимых уроков: во-первых, мы занимались в чистой и опрятной комнате, во-вторых, на уроке стоит здоровая учебная...
Смотреть все отзывы
 
 
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?
Занятия по информатике